【手术-立体几何-表面抗原】

泥石流

老王啊，你真是太陶气了，放着好好的医生不干，又整起什么数学来了，我的天哪！立体几何，饶了我吧，简直要人命呀！

王震宇

【几何】3

论正几何体，再往上复杂，就是由正五边形构成的正十二面体了，那么，正十二面体内切球体是不是也遵循这个规律呢？我们继续研究。

先说面积，是十二个正五边形的总和，我们先求单一的五边形面积。

正五边形是由五个全等的、等腰三角形组成，等腰三角的底角54度（顶角也就是72度了）
先求等腰三角形的高（绿线）和腰（红线）：

Sin 36° = a/2  : 等腰三角形腰长
等腰三角形腰长 = 1 a / 2  x  sin 36°（红线）

cos 36°=等腰三角形的高：等腰三角形的腰
等腰三角形的高=cos 36°X等腰三角形的腰
              = cos 36°X a / 2  sin 36°即ctg 36°a /2（绿线）

等腰三角形的面积=a X （cos 36°X a / 2  sin 36°）/2
                = a X a X ctg 36°/4

一个正五边形面积=5 X a X a X ctg 36°/4
正十二面体面积=15 X ctg 36°X a X a 。。。。。。。。。20.645752

王震宇

下面要求正十二面体的体积了，难度提高了
正十二面体的体积=12个正五棱锥的体积总和
问题是，正五棱锥的高我们目前还不知道，要推算
其实，正五棱锥的高也就是内切球的半径了
我们已经有了正五棱锥底面的边心距（边长为a），【ctg 36°a / 2】，求正十二面体的高，至少有两条途径，
一是如果再有棱面夹角，棱锥高就出来了，
二是通过斜面五边形梯形部分的高加上倒三角形高的一半，通过斜面倾斜角也能求出。

如果两种方法求得的数值是一致的，那就更好了，
但无论如何，顶面与斜面的夹角是必须先求的，
我们就先来求棱面夹角。要做好这件事之前，我们要先把这个正十二面体简化一下。

王震宇

已知条件：AB=BC=CD=a
          PM=OE = ctg 36°a /2………..(0.6882 a)
          CQ=cos 18 °a（灰色三角形）

AD=A + 2 （QD）
=A + 2 （sin 18°a）……（梯形大边）

三角形OFG相似于三角形OAD
OE：ON=FG：AD

（ctg 36°a /2）：ON = a ：（A + 2 （sin 18°a））
ON =（ctg 36°a /2）（A + 2 （sin 18°a））/a
   = a ( ctg 36°/2）（1 + 2  sin 18°）
   = a (1.3764/2)(1+2 X 0.3090)
   = 1.1135 a
EN = ON – OE
   = a ( ctg 36°/2）（1 + 2  sin 18°）- ctg 36°a /2
=( ctg 36°/2）（ 2  sin 18°）a
=( ctg 36°）（ sin 18°）a
= 0.4253 a
sin 角GCQ = GQ：CQ
           = ( ctg 36°）（ sin 18°）a ：cos 18 °a
           = ctg 36° tng 18°
           =1.3764 X 0.3249
           = 0.4472
角GCQ = 26.564°
于是，顶面侧面夹角=90°+26.564°=116.564°
于是，五棱锥侧面夹角=58.282°（近似值）

王震宇

【第一种红算法】
ctg 58.282°= PM ：正五棱锥高
             = （ctg 36°a /2 ） ：正五棱锥高
正五棱锥高=（ctg 36°a /2 ）/ ctg 58.282°
          =(1.376383 a/2)/0.618048
          =1.1135 a

【第二种红算法】
MN = CQ = cos 18 °a
角NDS = 108°– 72° = 36°（倒三角形底角）
sin 36°= NS ：a
NS = sin 36°a
sin （90°-26.564°）= 正十二面体半高：（MN+ NS/2）…（蓝线三角形）

正十二面体半高= sin （63.436°）（MN+ NS/2）
             = 0.894435 （cos 18 °a +sin 36° a/2）
             = 0.894435（0.95106+0.5878/2）a
             = 1.1135 a

两种方法的结果都是一致的，都是一个1.1135a 的近似值，有了这个值，就可以放心去求正十二面体体积和球体了。

王震宇

正十二面体体积=12 x 正五边形面积 x 锥体高 /3
              =4 x （5 X a X a X ctg 36°/4）（1.1135 a）
              = 5 x 1.1135 x 1.376383 a 立方
              = 7.6630 a立方

球体面积=4 x 3.1415926 x 1.1135 a  x 1.1135 a
        =15.5808 a平方
球体体积=（4/3）（3.1415926）（1.1135 a）（1.1135 a）（1.1135 a）
        =5.7831
面积之比=20.645752/15.5808=1.3251
体积之比=7.6630/5.7831=1.3251

用岳云鹏的话说：这太神奇了！

【未完待续】

依旧眼神

几何 我看见就晕 王老大有空指点我的最新帖子 几何先放一放

guangdongyxw

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高级，有看小说的感觉，期待结论是什么

王震宇

立体几何之后是抗原，抗原之后是我的看法。

王震宇

【立体几何】4

比正十二面体更复杂的是正二十面体，咱再看看这个规律灵不灵。
正二十面体是由二十个等边三角形围成的立方体，局部看，是一个侧面是等边三角形的正五棱锥。我们就从这个局部入手。